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用哈密顿原理证明重力场种自由落体的线

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用哈密顿原理证明重力场种自由落体的线

  铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中,找出一条曲线来,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点沿它无摩擦地滑下时,

  显然J的值与函数y(x)有关,最速落径问题就是求J的极值问题,即y(x)取什么函数时,函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为

  (7.10)是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件,称为欧拉方程,思考:欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别?

  一个具有s自由度的体系,它的运动由s个广义坐标 来描述。在体系的s维位形空间中,这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点,随着时间的变动,位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 和 体系位于位形空间的 点和 点,相应的广义坐标为

  和 (或缩写为 和 ),由 点通向 点有多种可能的轨道(路径),但体系运动的真实轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的真实轨道?即在 时间内,为何确定体系的s个广义坐标 ?哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。

  1843年哈密顿提出:对于一个保守系的完整力学体系,其由动力学规律所决定的真实运动轨道可由泛函数

  由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程,因此,哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用,可由它导出全部力学定律的原理或假说,称为力学第一性原理或最高原理,如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理,所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的,各有优缺点,但都是等价的。

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