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量子力学小课堂 哈密顿量是啥玩意儿?算符又是

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量子力学小课堂 哈密顿量是啥玩意儿?算符又是

  1. 微观粒子的状态用波函数来表示,波函数的物理意义呢,就是其模方表示在空间中一点探测到这个粒子的概率密度;

  简单地理解,算符代表了你对一个函数进行的一种操作。当然,我们说的操作呢,不是说扭一扭舔一舔泡一泡或者扔进垃圾桶之类的实际的动作,而是一些数学上的操作。举个简单的例子,给一个函数f乘以一个常数,比如说,乘以2,就可以得到一个新的函数2f,那么,乘以2这个操作,就可以用一个算符来表示。推广一下,把这个函数f乘以另外一个函数g,也用一个算符来表示。再举一个例子,对一个函数求导数可以得它的导函数,求导这个操作呢,也可以用一个算符表示。所以总结一下就是说,算符,代表了对函数的一个数学操作。

  我们在薛定谔绘景和坐标表象下讨论问题,乘以一个常数2这个操作,其算符具体形式就是一个常数2,乘以一个函数g这个操作,其算符形式就是这个函数g。而求导数这个操作呢,它的具体形式就是微积分里的求导记号d/dx。

  关于算符的长相到底是怎么来的,详细说明需要很多数学语言,在这里我们就不具体解释了,有兴趣的同学可以参考任意一本量子力学教材。

  最常见,也是最基本的,位置算符,就是粒子的位置矢量r,作用于波函数呢,就是简单的数乘。

  其中字母i呢,是虚数单位,字母h上面加一杠念做h bar,等于普朗克常数h除以2π,总之是一个常数就对了。这个倒三角表示求梯度,作用在一个函数上的效果是,对一个多元函数的xyz三个自变量分别求导数再乘以相应的单位向量,得到的是一个矢量。

  好的,现在我们明白了算符是个什么鬼,那我们再回过头来看一看哈密顿量具体长什么鬼样子。

  首先看第一项,分母m表示粒子的质量,倒三角的平方表示两个梯度算符点乘,作用于函数的效果,就是对三个自变量xyz分别求二阶导数,然后再相加起来,得到的还是一个标量函数。

  还记得高中学过的动能表达式吗?没错,1/2mv⊃2;,我们换成动量来表达,就是动量p的平方除以2倍的m,在这里,把动量p换成的动量算符,是不是就得到了哈密顿量的第一项呢?因此说,第一项实际上代表了粒子的动能。

  第二项是一个空间位置的函数,即势能函数,表示粒子处在不同位置时的势能大小。

  动能加势能,就是这个粒子的总能量。因此我们说,哈密顿量表示了粒子的能量。

  所以到现在,大家应该 可以完全明白薛定谔方程的意义了。左边对时间的导数,刻画了波函数随时间的变化,右边是哈密顿量作用于波函数,表明波函数的演化由系统能量的具体形式决定。

  比方说吧,如果你过生日的时候,女朋友送了一个装在势阱中的电子,并且给出了它的哈密顿量,而你也知道各种算符的形式,那现在能够做些什么呢?

  当然你可以去解薛定谔方程,如果女朋友好心给了你边界条件的话,那你就可以知道这个电子的波函数在任意时刻长什么样子,从而也知道了在任意时刻任意位置测量到这个电子的概率。

  但是你还应该关心的是,各种物理量的取值是多少,比如,这个电子能量究竟有多大,动量是多少,跑得快不快,打在身上疼不疼等等。万一女票生气了,砸过来几个电子,你必须知道这些信息,才能决定是躲开还是咬牙挺住。

  能够测量到的物理量的取值是相应物理量算符的本征值。物理量算符的本征向量构成一组正交完备基,把波函数用这组正交完备基展开,测量到某个本征值的概率就是相应叠加系数的模方。

  没学过线性代数或者抽象代数的同学现在是不是满脸问号呢?没关系我们一点一点解释。这条假设里有这样几个概念,本征值,本征向量,正交完备基和展开系数。

  我们刚才知道,算符代表了对一个函数进行的某种操作。那么有没有可能,对某些函数操作完了之后,得到的结果,是这个函数再乘以一个常数呢?用数学的语言表达出来就是

  其中,大写的字母A表示算符,小写字母a表示一个未知的常数,f代表未知的波函数。我们希望能够找到一些这样的函数,这样把算符作用上去的效果就变得非常简单,相当于直接乘以一个常数。

  这个方程,就叫做算符A的本征方程。在这个方程里,常数a和符合条件的函数f都是未知的。通过数学手段呢我们可以求解这个方程,解出来一系列常数a的可能的取值,我们称之为本征值

  大家可以忽略掉那些细节,只需要明白,对于每一个算符A,我们都可以通过求解一个方程,从而找到一些特殊的函数f,使得这个算符A作用于这个函数f后,得到的结果呢,就是简单地给这个函数f乘以一个常数。

  要注意的是,这些常数们和这些函数们是一一对应的,不同的常数对应不同的函数。(当然,也有某几个函数对应同一个常数的情况,这种情况叫做简并,我们先不考虑)

  那么解出来这些东西有什么用处呢?刚才的假设告诉我们,某个物理量的取值只能取这个算符的本征值。所以,我们就知道了,当我们去测量这个物理量时,所有可能测量到的值。

  在一些情况下,这些常数的取值是连续的,比如位置算符和动量算符,这和实际观测也相符,一个粒子可以处在空间中的任意位置,也可以以任意的速度运动。

  但有些情况下呢,它就只能够取某些分立的值,比如,当我给定一些特殊的势能函数时,求解哈密顿算符的本征方程,也就是求这个粒子可能的能量取值,会发现这个系统的能量值是分立的。

  这一点似乎非常奇怪的。因为在经典力学的世界里,任意系统的任何物理量都是可以连续取值的。当一个小滑块的能量可以取到3J和5J时,中间的能量值也一定可以取到。然而量子世界中却并非如此。所谓量子世界的不连续性也就是从这里来的。

  然而,更为奇特的是,这些物理量的取值不仅可以是不连续的,甚至可以是不确定的。我能够测量到什么值,全看粒子的心情……

  就像你惹女朋友生气了她让你走开时,你永远不知道她是不是真的想让你走开。不过好在,至少在量子力学里,观测到不同的取值概率是可以被算出来的,而女票生气我们到底该怎么做却依然完全无解。

  好啦,限于篇幅,本期就先介绍这么多,下期节目,我们会跟大家聊聊我们在测量物理量时,测量到各个取值的概率到底是怎么确定的,还会介绍大名鼎鼎的不确定性原理,态的叠加原理,以及最后一条基本假设,全同性原理,一定要记得收听哦~

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